Сохраняются ли настройки при выходе или переустановке?
Да, сохраняются. В Телеге существует два типа настроек:
Настройки аккаунта Telegram (чаты, папки, темы) хранятся на серверах Telegram и синхронизируются автоматически.
Настройки клиента Телеги (прокси, уникальные функции) сохраняются отдельно. При переустановке приложение предложит вам выбор: восстановить предыдущие настройки или начать с чистого листа.